Consigne: Montrer que pour toute matrice \(A\) de format \(n\times n\), le polynôme minimal de \(A\) existe et est unique
Existence : définitions initiales, on prend le polynôme de plus petit degré possible Existence : soit \(A_{nn}(A)\subset{\Bbb K[X]}\) l'ensemble des polynômes annulateurs de \(A\), \(A_{nn}(A)=\{P\in{\Bbb K[X]}\mid P(A)=0\}\)
On prend dans \(A_{nn}\) l'élément de plus petit degré \(P=\sum^n_{i=0}a_iX^i\)
On note \(n=\deg P\) tel que \(a_n\neq0\)
Division par le terme de plus haut degré pour avoir un polynôme unitaire Alors \(\frac1{a_n}\) est aussi annulateur de \(A\). Il est de plus unitaire. Notons \(P_{min}=\frac1{a_n}P\)
Montrer qu'un polynôme annulateur est multiple de \(P_{min}\) : montrer que le reste de la division euclidienne est nul Supposons \(S(A)=0\)
On effectue une division euclidienne sur les polynômes : \(S=QP_{min}+R\), avec \(\deg R\lt \deg P_{min}\)
Alors on a $$\begin{align}0&=Q(A)P_{min}(A)+R(A)\\ &=0+R(A)\end{align}$$
Montrer que \(R\) est nul par contradiction avec la définition de \(P_{min}\) On a donc \(R\in A_{nn}(A)\)
Or, on a \(\deg R\lt \deg P_{min}\) d'après le théorème de la division euclidienne, ce qui donne une contradiction car \(P_{min}\) est par définition le polynôme annulateur de plus petit degré de \(A\)
On a donc \(R=0\)
Unicité Unicité : supposons que \(P_1\) et \(P_2\) vérifient les conditions pour être polynôme minimal de \(A\)
Degré différent impossible Supposons quitte à changer l'ordre que \(\deg P_1\lt \deg P_2\)
Alors, d'après la définition du polynôme minimal, \(P_1\) est un multiple de \(P_2\)
On a donc : $$\begin{align} P_1=QP_2\implies\deg P_1&=\deg Q+\deg P_2\\ &\geqslant\deg P_2\end{align}$$
Ce qui est impossible
Degré égal impossible \(\Rightarrow\) impossible
Alors on a \(\deg P_1=\deg P_2=n\)
On a donc : $$\begin{align} P_1&=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_0\\ P_2&=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\ldots+b_0\end{align}$$
\(P_1-P_2\) est aussi annulateur de \(A\), avec \(\deg(P_1-P_2)\leqslant n-1\)
De plus, \(P_1-P_2\) est également multiple de \(P_1\) (ou \(P_2\))
C'est impossible, donc \(P_1-P_2=0\), ce qui implique que \(P_1=P_2\)
(Polynôme annulateur (Ensemble) , Polynôme annulateur (Produit par un scalaire) , Division euclidienne (Polynômes) )